offers hundreds of practice questions and video explanations. Go there now.

Sign up or log in to Magoosh GMAT Prep.

Matemáticas para el GMAT: decimales periódicos y exactos

El tema de los decimales y sus patrones parecen recibir un interés ligeramente mayor para el GMAC en el GMAT OG13e que en ediciones anteriores. ¿Qué decimales son exactos? ¿Qué decimales son periódicos? En este post, vamos a revisar estas preguntas

Los números racionales

Los números enteros son números positivos y negativos, incluyendo el cero. Aquí están los números enteros:

{ … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Cuando tomamos una proporción o ración de dos números enteros, obtenemos un número racional. Un número racional es cualquier número de la forma a / b, donde a y b son números enteros, y b ≠ 0. Los números racionales son el conjunto de todas las fracciones hechas con números enteros. Observa que todos los números enteros se incluyen en el conjunto de números racionales, porque, por ejemplo, 3/1 = 3.

Los números racionales como decimales

Cuando hacemos un decimal a partir de una fracción, pueden suceder dos cosas. El decimal es exacto (termina, llega a su fin) o es periódico (se repite, continúa para siempre en un patrón). Los números racionales exactos incluyen:
 
1/2 = 0.5
 
1/8 = 0.125
 
3/20 = 0.15
 
9/160 = 0.05625
 
 
Los números racionales periódicos incluyen:
 
1/3 = 0.333333333333333333333333333333333333 …
 
1/7 = 0.142857142857142857142857142857142857 …
 
1/11 = 0.090909090909090909090909090909090909 …
 
1/15 = 0.066666666666666666666666666666666666 …

¿Cuándo terminan los números racionales?

El GMAT no te dará una fracción complicada como 9/160 esperando que averigües cuál es su expresión decimal. PERO, el GMAT podría darte una fracción como 9/160 y preguntarte si su expresión decimal es exacta o no. ¿Cómo lo sabes?
 
Bueno, en primer lugar, cualquier decimal exacto (como 0.0376) es, esencialmente, una fracción con un múltiplo de diez en el denominador; por ejemplo, 0.0376 = 376/10000 = 47/1250. Observa que simplificamos esta fracción, cancelando un factor de 8 en el numerador. Los factores de 10 son 2 y 5, por lo que cualquier potencia de diez tendrá como factores a potencias de 2 y de 5, y algunos podrían ser cancelados por los factores del numerador, pero no se agregarán otros factores en el denominador. Por lo tanto, si la factorización primaria del denominador de una fracción solo tiene como factores al 2 y al 5, entonces puede escribirse como cualquier número sobre una potencia de diez, lo que significa que su expresión decimal será exacta.
 
Si la factorización primaria del denominador de una fracción solo tiene como factores al 2 y al 5, la expresión decimal termina. Si hay un factor primo en el denominador diferente a 2 o 5, entonces la expresión decimal será periódica. Así,
 
 
1/24 es periódica (hay un factor de 3)
 
1/25 es exacta (solo hay potencias de 5)
 
1/28 es periódica (hay un factor de 7)
 
1/32 es exacta (solo hay potencias de 2)
 
1/40 es exacta (solo hay potencias de 2 y 5)
 
 
Ten en cuenta que, siempre y cuando la fracción se encuentre simplificada, el numerador no importa en absoluto. Dado que 1/40 es exacta, entonces 7/40, 13/40, o cualquier otra fracción con un número entero sobre 40 también es exacta. Como 1/28 es periódica, entonces 5/28 y 15/28 y 25/28 también serán periódicas; presta atención a que 7/28 es exacta debido a que se simplifica: 7/28 = 1/4 = 0.25.

Atajos decimales:

Hay ciertos decimales que es bueno saber como atajos, tanto para las conversiones de fracciones a decimales como para las conversiones de fracciones a porcentajes. Estos son los siguientes:
 
 
1/2 = 0.5
 
1/3 = 0.33333333333333333333333333 …
 
2/3 = 0.66666666666666666666666666 …
 
1/4 = 0.25
 
3/4 = 0.75
 
1/5 = 0.2 (y para 2, 3 y 4 que son otros decimales fáciles)
 
1/6 = 0.1666666666666666666666666666 ….
 
5/6 = 0.833333333333333333333333333 …
 
1/8 = 0.125
 
1/9 = 0.111111111111111111111111111 … (además de otros dígitos con decimales fáciles)
 
1/11 = 0.09090909090909090909090909 … (además de otros dígitos con decimales fáciles)

Irracionales

Hay otra categoría de decimales que no terminan (continúan para siempre) y no tienen ningún patrón de repetición. Estos números, los decimales que no son exactos y tampoco periódicos, se llaman números irracionales. Es imposible escribir cualquiera de ellos como una relación de dos enteros. El Sr. Pitágoras (c. 570 – c. 495 a. C.) fue el primero en probar un número irracional: comprobó que la raíz cuadrada de 2: sqrt(2) es irracional. Ahora sabemos: todas las raíces cuadradas de números enteros que no son exactas son irracionales. Otro número irracional famoso es pmath]pi[/pmath], o pi, la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro. Por ejemplo,
 
pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164
 
0628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745
 
0284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201
 
909145648566923460348610454326648213393072602491412737…
 
Esos son los primeros trescientos dígitos de pi, y los dígitos nunca se repiten: continúan para siempre sin período. Hay infinidad de números irracionales: de hecho, la cantidad de números irracionales es infinitamente más grande que la infinidad de los números racionales, pero eso nos lleva a matemáticas (http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number) mucho más avanzadas que las del GMAT.

Pregunta de práctica

1) {(0.16666...)/(0.44444...)} =
 
(A) 2/27
 
(B) 3/2
 
(C) 3/4
 
(D) 3/8
 
(E) 9/16

Explicación a la pregunta de práctica

1) De nuestros atajos, sabemos que 0.166666666666 … = 1/6, y 0.444444444444 … = 4/9. Por lo tanto (1/6) * (9/4) = 3/8. Respuesta = D
 
 
Este post originalmente apareció en inglés en el blog Magoosh y fue traducido por Brenda Cabrera.

By the way, sign up for our 1 Week Free Trial to try out Magoosh GMAT Prep!

No comments yet.


Magoosh blog comment policy: To create the best experience for our readers, we will only approve comments that are relevant to the article, general enough to be helpful to other students, concise, and well-written! 😄 Due to the high volume of comments across all of our blogs, we cannot promise that all comments will receive responses from our instructors.

We highly encourage students to help each other out and respond to other students' comments if you can!

If you are a Premium Magoosh student and would like more personalized service from our instructors, you can use the Help tab on the Magoosh dashboard. Thanks!

Leave a Reply

Share
Tweet
Share
Pin