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Matemáticas para el GMAT: cómo dividir por una raíz cuadrada

Muchos estudiantes, especialmente los que están lejos de las matemáticas durante mucho tiempo, se pierden al tratar de dividir por una raíz cuadrada. Primero, revisemos estas tres preguntas de práctica.
 
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1. En la ecuación anterior, x =
 
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2. El triángulo ABC es un triángulo equilátero con una altitud de 6. ¿Cuál es su área?
 
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3. En la ecuación anterior, x =
 
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En la segunda pregunta necesitas un poco de geometría. Es posible que desees revisar las propiedades del triángulo 30-60-90 y del triángulo equilátero si no estás familiarizado con ellas. El primer ejercicio es aritmética simple. La tercera pregunta es bastante difícil. Para cualquiera de estos, bien puede ser que, incluso si multiplicaste y dividiste correctamente, tu respuesta sea del tipo: algo dividido por la raíz cuadrada de algo y te preguntarás “¿por qué mi respuesta no aparece entre las opciones?”. Si esto te confunde, has encontrado el post correcto.

Fracciones y radicales

Cuando nos enseñan las fracciones por primera vez, en nuestra tierna pubertad, tanto los numeradores como los denominadores eran fáciles números enteros positivos. Como sabemos ahora, cualquier número real, puede aparecer en el numerador o en el denominador de una fracción. Entre otras cosas, los radicales, o sea, las expresiones con raíces cuadradas, pueden aparecer tanto en el numerador como en el denominador. No hay ningún problema en particular si tenemos la raíz cuadrada en un numerador. Por ejemplo,
 
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Es una fracción fácil. De hecho, aquellos que alguna vez han estudiado trigonometría podrían incluso reconocer este tipo de fracción. Supongamos ahora que tenemos una raíz cuadrada en el denominador: ¿qué ocurre entonces? Tomemos el recíproco de esta fracción.
 
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Esto ya no es una fracción fácil. Matemáticamente, esta es una fracción “de mal gusto”, porque estamos dividiendo por una raíz cuadrada. Esta fracción nos pide a gritos algún tipo de simplificación. ¿Cómo simplificamos esto?

Cómo lidiar con raíces cuadradas en el denominador

Por convención matemática estándar, una convención que se sigue en el GMAT, no dejamos raíces cuadradas en el denominador de una fracción. Si una raíz cuadrada aparece en el denominador de una fracción, seguimos un procedimiento llamado racionalización del denominador.
 
Sabemos que al multiplicar la raíz cuadrada por sí misma obtenemos un entero positivo. Así que, si multiplicamos un denominador con la raíz cuadrada de 3 por sí mismo, el resultado sería 3, que ya no es un número radical. El problema es que no podemos ir multiplicando el denominador de de una fracción por cualquier número sin multiplicar también el numerador porque la fracción perdería su valor original. PERO, recuerda el el viejo e infalible truco de multiplicar la fracción por uno; siempre podemos multiplicar una fracción por A / A, por un número cualquiera sobre sí mismo, porque esta nueva fracción sería igual a 1, y la multiplicación por 1 no cambia el valor de la fracción.
 
Así, para simplificar una fracción con la raíz cuadrada de 3 en el denominador, ¡multiplicamos por la raíz cuadrada de 3 sobre la raíz cuadrada de 3!
 
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Esa última expresión es numéricamente igual a la primera expresión, pero a diferencia de la primera, ahora es “de buen gusto” para las matemáticas, porque no hay ninguna raíz cuadrada en el denominador. El denominador ha sido racionalizado (es decir, la fracción es ahora un número racional).
 
A veces, se produce alguna cancelación entre el número del numerador original y el número entero que resulta de racionalizar el denominador. Considera el siguiente ejemplo:
 
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Ese patrón de cancelación en el proceso de simplificación puede darte una idea de la solución al ejercicio # 1 de arriba.

Raíces cuadradas y suma en el denominador

Este es el siguiente nivel de complejidad. Supongamos que estamos dividiendo un número por una expresión que implica sumar o restar una raíz cuadrada. Por ejemplo, revisemos esta fracción:
 
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Esta es una fracción que necesita ser racionalizada. PERO, si simplemente multiplicamos el denominador por sí mismo, eso NO eliminará la raíz cuadrada, sino que simplemente creará una expresión aún más complicada con una raíz cuadrada. En lugar de esto, utilizamos la fórmula de diferencia de cuadrados,a^2-b^2 = (a + b)(a – b). Los factores de la forma (a + b) y (a – b) se llaman conjugados entre sí. Cuando tenemos (número + raíz cuadrada) en el denominador, creamos el conjugado del denominador cambiando el signo de suma a un signo de resta, y luego multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. En el ejemplo anterior, el denominador es tres menos la raíz cuadrada de dos. El conjugado del denominador sería tres más la raíz cuadrada de dos. Para racionalizar el denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por este conjugado.
 
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Observa que la multiplicación en el denominador resultó en una simplificación mediante la “diferencia de dos cuadrados” que eliminó las raíces cuadradas del denominador. La expresión final es una versión completamente racionalizada y simplificada de la original.

Resumen

Después de leer este post, puede ser que quieras intentar resolver las tres preguntas de práctica de arriba antes de leer las siguientes explicaciones. Si tiene alguna pregunta sobre este procedimiento, ¡por favor házla en las sección de comentarios de abajo!

Explicaciones a los ejercicios de práctica

1) Para encontrar el valor de x, comenzaremos con una multiplicación cruzada.
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Observa que lo anterior ocurre porque en general, podemos multiplicar y dividir con radicales.
 
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Al realizar una multiplicación cruzada, obtenemos
 
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Es posible que hayas obtenido este resultado y te hayas preguntado por qué no aparece entre las opciones de respuesta. Esto es numéricamente igual a la respuesta correcta, pero por supuesto, como explicamos en este post, esta forma no está racionalizada. Necesitamos racionalizar el denominador.
 
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Respuesta = (D)
 
2) Sabemos la altura del triángulo ABC y necesitamos encontrar la medida de su base. Bueno, la altitud BD divide el triángulo ABC en dos triángulos de 30-60-90 grados. De las proporciones de un triángulo de 30-60-90 grados, sabemos:
 
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Ahora, yo trataría de racionalizar el denominador de inmediato.
 
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Ahora, AB se debe simplificar. Sabemos que AB = AC, porque el triángulo ABC es equilátero, por lo que obtenemos la medida de su base.
 
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Respuesta = (C)
 
3) Comenzamos dividiendo por la expresión que está entre paréntesis para despejar a x.
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Por supuesto, esta expresión no aparece entre las opciones de respuesta. Una vez más, necesitamos racionalizar el denominador, y este caso es un poco más complicado porque tenemos una suma en el denominador además de la raíz cuadrada. Aquí tenemos que encontrar el conjugado del denominador: cambiar el signo más a un signo menos y luego multiplicar el numerador y el denominador por este conjugado. Esto nos dará como resultado:
 
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Respuesta = (A)
 
 
Este post originalmente apareció en inglés en el blog Magoosh y fue traducido por Brenda Cabrera.

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