Matemáticas GMAT: las preguntas de probabilidad con “al menos”

En el primer post de esta serie, hablé sobre “la regla Y” y “la regla O” en probabilidad. Ahora, nos centraremos en las preguntas de probabilidad con “al menos”. Primero, un poco práctica sobre este tema.
 
Conjunto # 1 = {A, B, C, D, E}
 
Conjunto # 2 = {K, L, M, N, O, P}
 
1) Tenemos estos dos conjuntos de letras, y vas a elegir exactamente una letra de cada conjunto. ¿Cuál es la probabilidad de que elijas al menos una vocal?

(A) 1/6
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2/3
(E) 5/6

 
2) Imagina que lanzas una moneda al aire seis veces. ¿Cuál es la probabilidad de que, en seis lanzamientos, caiga al menos una vez de cara?

(A) 5/8
(B) 13/16
(C) 15/16
(D) 31/32
(E) 63/64

3) En un juego determinado, escoges una carta de una baraja estándar de 52 cartas. Si la tarjeta es un corazón, tú ganas. Si la carta es de cualquier otro palo que no sea corazón, la persona devuelve la carta a la baraja, la baraja y retira otra carta. La persona seguirá repitiendo este proceso hasta que salga un corazón, y el punto es calcular: ¿cuántos veces se repetirá este proceso antes de que la persona escoja un corazón y gane? ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de los dos saque al menos dos cartas “sin corazón” en las dos primeras tiradas, y que la carta con el corazón no aparezca hasta al menos la tercera tirada?

(A) 1/2
(B) 9/16
(C) 11/16
(D) 13/16
(E) 15/16

La regla del complemento

Existe una regla muy simple y muy importante que relaciona P (A) y P (no A), vinculando la probabilidad de que ocurra cualquier evento con la probabilidad de que ese mismo evento no ocurra. Para cualquier evento bien definido, es 100% cierto que el evento ocurrirá o no ocurrirá. El GMAT no te hará preguntas de probabilidad acerca de eventos extraños en los que, por ejemplo, no se pueda saber si el evento ocurrió, o eventos complejos que podrían, en cierto sentido, suceder y no suceder. Para cualquier evento A de una pregunta de probabilidad en el GMAT, los dos escenarios “A sucede” y “A no sucede” agotan las posibilidades que podrían tener lugar. Con certeza, podemos decir: uno de esos dos ocurrirá. En otras palabras
 
P (A O no A) = 1
 
Tener una probabilidad de 1 significa certeza garantizada. Obviamente, por una variedad de razones lógicas profundas, los eventos “A” y “no A” son disjuntos y no tienen intersección. La regla O, discutida en el último post, implica:
 
P (A) + P (no A) = 1
 
Debes restar el primer término para despejar P (no A).
 
P (no A) = 1 – P (A)
 
Esto se conoce en probabilidad como la regla del complemento, porque la región probabilística en la cual un evento no ocurre complementa a la región en la cual ocurre. Esta es una idea crucial en general, para todas las preguntas de probabilidad del GMAT, y una noción que será muy importante en particular para la resolución de las preguntas de “al menos”.

El complemento en las oraciones con “al menos”

Supongamos que el evento A es una afirmación que implica las palabras “al menos”; ¿cómo podríamos afirmar lo que constituye”no A”? En otras palabras, ¿cómo negamos una afirmación con “al menos”? Seamos concretos. Supongamos que hay algún evento que involucra solo dos resultados: éxito y fracaso. El evento podría ser, por ejemplo, hacer un tiro libre de baloncesto, o tirar una moneda y conseguir caras. Ahora, supongamos que tenemos un “concurso” que involucra a diez de estos eventos seguidos, y estamos contando el número de éxitos logrados en estos diez intentos. Sea A el evento definido como: A = “hay al menos 4 éxitos en estos diez intentos”. ¿Qué resultados constituirían “no A”? Bien, pensemos en ello. En diez pruebas, uno podría obtener cero éxitos, exactamente un éxito, exactamente dos éxitos, así sucesivamente hasta diez éxitos. Hay once resultados posibles, los números de 0 a 10, para el número de éxitos que uno podría obtener en 10 intentos. Considera el siguiente diagrama del número de éxitos posibles en diez ensayos.

Los números morados son los miembros de A, los miembros de “al menos 4 éxitos” en diez ensayos. Por lo tanto, los números verdes son el espacio del complemento, la región de “no A.” En palabras, ¿cómo describiríamos las condiciones que te conducen a la región verde? Diríamos: “no A” = “tres o menos éxitos” en diez ensayos. La negación, lo contrario, de “al menos cuatro” es “tres o menos”.
 
Resumiendo lo anterior, la negación u opuesto de “al menos n” es la condición “(n – 1) o menos”. Un caso particularmente interesante de esto es n = 1: la negación u opuesto de “al menos uno” es “ninguno”. Esta última declaración es una idea sumamente importante, posiblemente la clave para resolver la mayoría de las preguntas de “al menos” que verás en el GMAT.

Responder a una pregunta de tipo “al menos”

La gran idea para cualquier pregunta de “al menos” en el GMAT es: siempre es más fácil calcular la probabilidad del complemento. Por ejemplo, en el escenario anterior de diez ensayos de algún tipo, el cálculo de “al menos 4” implicaría directamente siete cálculos diferentes (para los casos de 4 a 10), mientras que el cálculo de “tres o menos” implicaría sólo cuatro cálculos (para los casos de 0 a 3). En el caso extremo – y extremadamente común – de “al menos uno”, el enfoque directo implicaría un cálculo para casi todos los casos, pero el cálculo del complemento simplemente implica encontrar la probabilidad para el caso “ninguno”, y luego restársela a uno.
 
P (no A) = 1 – P (A)
 
P (al menos un éxito) = 1 – P (sin éxitos)
 
Este es uno de los atajos más poderosos que existen para ahorrar tiempo en el GMAT.

Un ejemplo del cálculo

Considera la siguiente pregunta simple.
 
4) Se tiran dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en al menos uno de ellos?
 
Resulta que calcular eso directamente implicaría un cálculo relativamente largo; la probabilidad de exactamente un 6, en cualquiera de los dos dados, y la rara probabilidad de que ambos obtengan un 6. Ese cálculo fácilmente podría tomar varios minutos.
 
En su lugar, utilizaremos el atajo definido anteriormente:
 
P (no A) = 1 – P (A)
 
P (al menos un 6) = 1 – P (ningún 6)
 
¿Cuál es la probabilidad de que en ningún dado salga un 6? Bueno, primero, vamos a considerar un dado. La probabilidad de tirar un 6 es 1/6, por lo que la probabilidad de tirar algo distinto de 6 (“no 6”) es 5/6.
 
P (dos dados, ningún 6) = P (“no 6” en el dado # 1 Y “no 6” en el dado # 2)
 
Como vimos en el post anterior, la palabra Y significa multiplicar. (Claramente, el resultado de cada dado es independiente del otro). Así:
 
P (dos dados, ningún 6) = (5/6) * (5/6) = 25/36
 
P (al menos un 6) = 1 – P (ningún 6) = 1 – 25/36 = 11/36
 
Lo que podría haber sido un largo cálculo se vuelve extraordinariamente sencillo mediante este atajo. ¡Esto puede ser un ahorro de tiempo enorme en el GMAT!

Ejercicio de práctica para preguntas de probabilidad con “al menos”

Después de leer este post, es posible que desees revisar nuevamente las tres preguntas de práctica del principio antes de leer las respuestas a continuación. También, aquí tienes una pregunta gratis (en inglés), con una explicación en vídeo, sobre este mismo tema:
 
5) ¡Probar ahora!
 
El siguiente artículo de esta serie explorará las preguntas de probabilidad que involucran técnicas de conteo.

Explicaciones a los problemas de práctica

1) P (al menos una vocal) = 1 – P (sin vocales)
 
La probabilidad de no seleccionar ninguna vocal del primer conjunto es 3/5. La probabilidad de no escoger ninguna vocal del segundo conjunto es 5/6. Para no tener vocales en absoluto, necesitamos que no haya vocales del primer conjunto Y que no haya vocales del segundo conjunto. Según la regla Y, multiplicamos esas probabilidades.
 
P (sin vocales) = (3/5) * (5/6) = 1/2
 
P (al menos una vocal) = 1 – P (sin vocales) = 1 – 1/2 = 1/2
 
Respuesta = C
 
2) P (al menos una cara) = 1 – P (sin caras)
 
En una tirada, P (“sin caras”) = P (cruz) = 1/2. Necesitamos que esto ocurra seis veces, es decir, seis eventos independientes unidos por Y, lo que significa que se multiplican.

 
P(sin caras en 6 tiradas=(½)6=1/64
 
P(al menos una cara)=1-1/64=63/64
 
Respuesta = E
 
3) Una baraja completa de 52 cartas contiene 13 cartas de cada uno de los cuatro palos. La probabilidad de encontrar un corazón en una baraja completa es 1/4. Por lo tanto, la probabilidadde tirar “sin corazón” es 3/4.
 
P (al menos tres tiradas para ganar) = 1 – P (ganar en dos o menos tiradas)
 
Además,
 
P (ganar en dos o menos tiradas) = P (ganar en una tirada O gana en dos tiradas)
 
= P (ganar en una tirada) + P (ganar en dos tiradas)
 
Ganar en una tirada significa: yo selecciono una carta de una baraja completa, y resulta ser un corazón. Arriba, ya hemos dicho: la probabilidad de esto es 1/4.
 
P (ganar en una tirada) = 1/4
 
Ganar en dos tiradas significa: mi primer tirada es “no corazón”, P = 3/4, Y la segunda tirada es un corazón, P = 1/4. Debido a que reemplazamos y rebarajamos, las tiradas son independientes, por lo que Y significa que debemos multiplicar.
 
P (ganar en dos tiradas) = (3/4) * (1/4) = 3/16
 
P (ganar en dos o menos tiradas) = P (ganar en una tirada) + P (ganar en dos tiradas)
 
= 1/4 + 3/16 = 7/16
 
P (al menos tres tiradas para ganar) = 1 – P (ganar en dos o menos tiradas)
 
= 1 – 7/16 = 9/16
 
Respuesta = B

Esto es todo para las preguntas de probabilidad con “al menos”.
 
 
Este post originalmente apareció en inglés en el blog Magoosh y fue traducido por Brenda Cabrera.