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Matemáticas GMAT: ¿cómo se encuentra la altura de un triángulo?

Supongamos que tienes un triángulo con lados {6,7,8}, ¿cómo encuentras la altura?
 
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Esta es una pregunta que algunos que rinden la prueba GMAT se preguntan. Saben que necesitan la altura para encontrar el área, por lo que se preocupan: ¿cómo voy a encontrar esa altura?. La respuesta corta es: ¡olvídalo!

¿Cuál altura?

En primer lugar, la “altura” de un triángulo es su altitud. Cualquier triángulo tiene tres altitudes, y por lo tanto tiene tres alturas. Verás, cualquier lado puede ser una base. Desde cualquier vértice, puedes dibujar una línea perpendicular a la base opuesta, que es la altitud de esta base. Cualquier triángulo tiene tres altitudes y tres bases. Puedes usar cualquier par de altitudes y bases para encontrar el área del triángulo, mediante la fórmula A = (1/2)bh.
 
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En cada uno de estos diagramas, el triángulo ABC es el mismo. La línea verde es la altitud, la “altura”, y el lado con el cuadrado rojo perpendicular en él es la “base”. Los tres lados del triángulo sirven para calcular una altura.

Encontrar una altura

Dadas las longitudes de los tres lados de un triángulo, la única manera en que uno podría encontrar una altura y el área a partir solamente de los lados implicaría la trigonometría, que está más allá del alcance del GMAT. Tú NO eres 100% responsable de saber cómo realizar estos cálculos. Esto se encuentra varios niveles de dificultad por encima de las matemáticas que necesitas saber. No te preocupes por esas cosas.
 
En la práctica, si el problema en el GMAT quiere que calcules el área de un triángulo, tendrían que darte la altura. La única excepción sería un triángulo rectángulo: en un triángulo rectángulo, si uno de los lados es la base, el otro lado es la altitud, la altura, por lo que es particularmente fácil encontrar el área de triángulos rectos.

Algunas advertencias sobre “saber más de lo necesario”

¡Si no deseas saber nada sobre este tema más allá de lo absolutamente necesario para el GMAT, omite esta sección!
 
a. Técnicamente, si conoces los tres lados de un triángulo, podrías encontrar el área a partir de algo que se llama la fórmula de Heron, pero eso es también más de lo que el GMAT espera que sepas. ¡Más de lo que necesitabas saber!
 
b. Si uno de los ángulos del triángulo es obtuso, entonces las altitudes de cualquiera de las dos bases adyacentes a este ángulo obtuso están fuera del triángulo. Super-técnicamente, una altitud no es un segmento que pasa a través de un vértice perpendicular a la base opuesta, sino un segmento que pasa a través de un vértice perpendicular a la línea que contiene la base opuesta.
 
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En el diagrama anterior, en el triángulo DEF, una de las tres altitudes es DG, que va desde el vértice D hasta la recta infinita que contiene el lado EF. Eso es un tecnicismo que el GMAT no preguntará o esperará que sepas. Una vez más, ¡más de lo que necesitabas saber!
 
c. Si los tres lados de un triángulo son unos lindos números positivos, entonces con toda probabilidad, el valor matemático real de las altitudes será en feos números decimales. Muchas fuentes de preparación para el GMAT y los maestros en general no te dirán nada al respecto, y para los propósitos de una resolución más fácil de los problemas, te darán también un bonito número entero positivo para la altitud. Por ejemplo, el valor real de la altitud de C a AB en el triángulo 6-7-8 que vimos al comienzo es:
 
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No solo no se espera que el 100% sepa cómo encontrar ese número, sino que también la mayoría de los escritores de preguntas prácticas del GMAT te ahorrarán los feos detalles y solo te dirán, por ejemplo, altura = 5. Eso hace que sea muy fácil calcular el área. Sí, técnicamente, es una mentira piadosa, pero que ahorra a los pobres estudiantes un montón de matemáticas feas con decimales de las que no necesitan preocuparse. En realidad, los profesores de matemáticas de todos los niveles hacen esto todo el tiempo: pequeñas mentiras piadosas matemáticas, para ahorrarle a los estudiantes detalles que no necesitan saber.
 
Por lo que puedo decir, la gente que escribe el GMAT en sí son seguidores de la verdad en todos los aspectos, y ni siquiera hacen este tipo de mentira piadosa de “simplificar las cosas para el estudiante”. Ellos son más propensos a eludir todo el asunto, por ejemplo, haciendo todas las longitudes pertinentes variables o algo así. ¡Una vez más, más de lo que necesitabas saber!

Lo que necesitas saber

Necesitas saber geometría básica. Sí, hay toneladas de matemáticas más allá de esto, y toneladas más que podrías saber sobre triángulos y sus propiedades, pero no eres responsable de nada de eso. Solo necesitas saber la geometría básica de los triángulos, incluida la fórmula A = (1/2) b * h. Si el triángulo no es un triángulo rectángulo, no tienes ninguna obligación de saber cómo encontrar la altura – siempre se te dará si lo necesitas. Esta es una pregunta de práctica gratis para ti.
 
1) http://gmat.magoosh.com/questions/81
 
 
Este post originalmente apareció en inglés en el blog Magoosh y fue traducido por Brenda Cabrera.

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