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Matemática GMAT: a Questão de “Pelo Menos” de Probabilidade

No primeiro post desta série, eu falei sobre a regra do AND (e) e a regra do OR (ou) em probabilidade. Agora, nós iremos focar na questão de probabilidade que envolve as palavras “pelo menos”. Primeiro, um pouco de questões práticas desse gênero.
 
Conjunto #1 = {A, B, C, D, E}
 
Conjunto #2 = {K, L, M, N, O, P}
 
1) Existem esses dois conjuntos de letras e você vai escolher exatamente uma letra de cada um. Qual é a probabilidade de escolher pelo menos uma vogal?

    (A) 1/6
    (B) 1/3
    (C) 1/2
    (D) 2/3
    (E) 5/6

2) Suponha que você jogue uma moeda não-viciada seis vezes. Qual é a probabilidade de, em seis jogadas, sair pelo menos uma cara?

    (A) 5/8
    (B) 13/16
    (C) 15/16
    (D) 31/32
    (E) 63/64

3) Em um certo jogo, você escolhe uma carta de um baralho padrão de 52 cartas. Se a carta é de copas, você ganha. Se não for de copas, a pessoa a repõe no bolo de cartas, embaralha e puxa novamente. Esse processo é repetido até sair uma de copas, e a questão é calcular: quantas vezes a pessoa precisa puxar antes que consiga uma carta de copas e ganhe? Qual é a probabilidade de puxar pelo menos duas cartas que não sejam de copas nas primeiras duas jogadas, e só pegar a primeira carta de copas pelo menos na terceira jogada?

    (A) 1/2
    (B) 9/16
    (C) 11/16
    (D) 13/16
    (E) 15/16

A regra do complemento

Há uma regra muito simples e importante relacionando P(A) e P(A’), conectando a probabilidade de qualquer evento acontecer com a probabilidade daquele mesmo evento não acontecer. Para qualquer evento bem definido, é 100% verdade que este pode ou não acontecer. O GMAT não irá fazer perguntas de probabilidade sobre eventos bizarros dos quais, por exemplo, você não saberia dizer se aconteceu ou não, ou eventos complexos que podem, de alguma forma, tanto acontecer quanto não acontecer. Para qualquer evento A em uma questão de probabilidade no GMAT, os dois cenários “A acontece” e “A não acontece” esgotam as possibilidades que podem acontecer. Com certeza, nós podemos falar: um dos dois irá ocorrer. Em outras palavras
 
P(A OU A’) = 1
 
Ter a probabilidade de 1 significa certeza garantida. Obviamente, por uma variedade de razões lógicas profundas, os eventos “A” e “não A (ou A’)” são desconexos e não têm sobreposição. A regra do OU, discutida no último post, implica:
 
P(A) + P(A’) = 1
 
Subtraia o primeiro termo para isolar P(A’).
 
P(A’) = 1 – P(A)
 
Isto é conhecido em probabilidade como regra de um evento complementar, porque a região probabilística na qual um evento não acontece complementa a região na qual ele ocorre. Esta é a ideia crucial no geral, para todas as questões de probabilidade do GMAT, que será muito importante para resolver questões de “pelo menos” em particular.

O evento complementar em afirmações de “pelo menos”

Suponha que um evento A é uma afirmação envolvendo palavras de “pelo menos” – o que afirmaria os constituintes de “não A”? Em outras palavras, como negamos uma afirmação “pelo menos”? Vamos ser concretos. Suponha que há alguns eventos que envolvam apenas dois resultados: sucesso e fracasso. O evento pode ser, por exemplo, fazer um arremesso de basquete ou jogar uma moeda e tirar cara. Agora, suponha que temos uma “disputa” envolvendo dez desses eventos consecutivos, e nós estamos contando o número de sucessos dessas dez tentativas. O evento A será definido como: A = “há pelo menos 4 sucessos nessas dez tentativas.” Que resultados iriam constituir “não A”? Bem, vamos pensar sobre isso. Em dez tentativas, uma pode ser de nenhum sucesso, exatamente um sucesso, exatamente dois sucessos, até dez sucessos. Há onze resultados possíveis, os números de 0 – 10, para o número de sucessos que pode ocorrer em 10 tentativas. Considere o seguinte diagrama de números de sucessos possíveis em dez tentativas.
 

 
Os números em roxo são membros de A, “pelo menos 4 sucessos” em dez tentativas. Portanto, os números verdes são os espaços complementares, a região de “não A”. Em palavras, como iríamos descrever as condições que lhe colocariam na região verde? Nós podemos dizer: “não A” = “três sucessos ou menos” em dez tentativas. A negação, o oposto, de “pelo menos quatro” é “três ou menos”.
Abstraindo disso, a negação ou oposto de “pelo menos n” é a condição “(n – 1) ou menos”. Um caso particularmente interessante é n = 1: a negação ou o oposto de “pelo menos um” é “nenhum.” Esta última afirmação é uma ideia extremamente importante, indiscutivelmente a chave para resolver a maior parte das questões de “pelo menos” que você encontrará no GMAT.

Resolvendo uma questão de “pelo menos”

A maior ideia das questões de “pelo menos” no GMAT é: sempre é mais fácil descobrir a probabilidade do complementar. Por exemplo, no cenário acima das dez tentativas de alguma coisa, calcular “pelo menos 4” diretamente iria envolver sete cálculos diferentes (para os casos de 4 a 10), enquanto calcular “três ou menos” iria envolver apenas quatro cálculos separados (para os casos de 0 a 3). No extremo – e extremamente comum – caso de “ao menos um”, a abordagem direta iria envolver o cálculo de um quase caso, mas o cálculo do complementar envolve simplesmente calcular a probabilidade para o caso de “nenhum” e então subtraí-lo de um.
 
P(A’) = 1 – P(A)
 
P(pelo menos um sucesso) = 1 – P(nenhum sucesso)
 
Este é um dos atalhos mais poderosos e que economizam o seu tempo em todo o GMAT.

Um exemplo de cálculo

Considere a simples questão a seguir.
 
4) Dois dados são arremessados. Qual é a probabilidade de se tirar um 6 em pelo menos um deles?
 
Acontece que calcular isso diretamente iria envolver um cálculo relativamente longo – a probabilidade de tirar exatamente um 6, em qualquer dado, e a rara probabilidade de ambos darem 6. Este cálculo poderia facilmente levar muitos minutos para ser concluído.
 
Em vez disso, nós iremos usar o atalho definido acima:
 
P(A’) = 1 – P(A)
 
P(pelo menos um 6) = 1 – P(nenhum 6)
 
Qual a probabilidade de ambos os dados darem nenhum 6? Bem, primeiro, vamos considerar apenas um dado. A probabilidade de arremessar um 6 é de 1/6, então a probabilidade de arremessar algo diferente de 6 (não 6) é 5/6.
 
P(dois dados, nenhum 6) = P(“não 6” no dado nº 1 E “não 6” no dado nº 2)
 
Como vimos no último post, a palavra E significa multiplicação. (Claramente, o resultado de cada dado é independente do outro). Então:
 
P(dois dados, nenhum 6) =(5/6)*(5/6) = 25/36
 
P(pelo menos um 6) = 1 – P(nenhum 6) = 1 – 25/36 = 11/36
 
O que poderia ser um cálculo bem longo tornou-seincrivelmente simples com esse atalho. Isto pode ser um enorme quebra-galho para economizar o seu tempo no GMAT!

Pratique

Após ler este post, tente resolver novamente as três questões práticas acima antes de ler suas respostas abaixo. E mais, aqui está uma questão grátis, com vídeo explicativo, sobre esse mesmo tema:
 
5) http://gmat.magoosh.com/questions/839
 
O próximo artigo da série irá explorar as questões de probabilidade que envolvem técnicas de contagem.

Explicação das questões práticas

 
1) P(pelo menos uma vogal) = 1 – P(nenhuma vogal)
 
A probabilidade de pegar uma letra que não seja uma vogal no primeiro conjunto é de 3/5. A probabilidade de não pegar nenhuma vogal no segundo conjunto é 5/6. Para não pegar vogal alguma, não podemos pegar nenhuma no primeiro conjunto E nenhuma no segundo conjunto. De acordo com a regra E, nós multiplicamos as probabilidades.
 
P(nenhuma vogal) = (3/5)*(5/6) = 1/2
 
P(pelo menos uma vogal) = 1 – P(nenhuma vogal) = 1 – 1/2 = 1/2
 
Resposta = C
 
2) P(pelo menos um H) = 1 – P(nenhum H)
 
Em uma jogada, P(“não H”) = P(T) = 1/2. Nós precisaríamos que isso acontecesse seis vezes – isto é, seis eventos independentes unidos pela palavra E, o qual significa que são multiplicados entre si.
 


Resposta = E
 
3) Um baralho completo de 52 cartas contém 13 cartas de cada um dos quatro naipes. A probabilidade de puxar uma carta de copas em um baralho completo é 1/4. Portanto, a probabilidade de tirar uma carta que “não seja copas” é 3/4.
 
P(pelo menos três jogadas para ganhar) = 1 – P(ganhar em duas ou menos jogadas)
 
Além disso,
 
P(ganhar em duas ou menos jogadas) = P(ganhar em uma jogada OU ganhar em duas jogadas)
 
= P(ganhar em uma jogada) + P(ganhar em duas jogadas)
 
Ganhar em uma jogada significa: eu seleciono uma carta do baralho e acontece de ser de copas. Acima, nós já falamos: a probabilidade disto acontecer é de 1/4.
 
P(ganhar em uma jogada) = 1/4
 
Ganhar em duas jogadas significa: minha primeira jogada era uma carta “não copas”, P = 3/4, E a segunda jogada é de copas, P = 1/4. Porque nós repomos e embaralhamos, as jogadas são independentes, então o E significa multiplicação.
 
P(ganhar em duas jogadas) =(3/4)*(1/4) = 3/16
 
P(ganhar em duas ou menos jogadas) =P(ganhar em uma jogada) + P(ganhar em duas jogadas)
 
= 1/4 + 3/16 = 7/16
 
P(pelo menos três jogadas para ganhar) = 1 – P(ganhar em duas ou menos jogadas)
 
= 1 – 7/16 = 9/16
 
Resposta = B
 
 
Esta postagem apareceu originalmente em inglês no Magoosh blog e foi traduzida por Jonas Lomonaco.

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