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Matemática GMAT: Decimais Exatos e Periódicos

O tópico de decimais e padrões de decimais parece causar um pouco mais de interesse ao GMAC na GMAT OG13e do que em edições anteriores. Quais decimais são exatos (terminam)? Quais decimais são periódicos (se repetem)? Nesse post, nós vamos analisar essas questões.

Números Racionais

Inteiros são números positivos e negativos reais, incluindo o zero. Aqui estão alguns inteiros:

{ … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Quando fazemos uma razão entre dois inteiros, nós temos um número racional. Um número racional é qualquer número no formato a/b, onde a e b são inteiros e b ≠ 0. Números racionais são o conjunto de todas frações feitas com fatores inteiros. Perceba que todos os inteiros estão incluídos no conjunto de números racionais, pois, por exemplo, 3/1 = 3.

Números Racionais Como Decimais

Quando fazemos um decimal de uma fração, uma das duas coisas acontece. Ou termina (decimal exato) ou repete (continua para sempre em um padrão, chamados de decimais periódicos). Números racionais exatos incluem:
 
1/2 = 0.5
 
1/8 = 0.125
 
3/20 = 0.15
 
9/160 = 0.05625
 
Números racionais periódicos incluem:
 
1/3 = 0.333333333333333333333333333333333333…
 
1/7 = 0.142857142857142857142857142857142857…
 
1/11 = 0.090909090909090909090909090909090909…
 
1/15 = 0.066666666666666666666666666666666666…

Quando Números Racionais são Exatos?

O GMAT não dará uma fração complicada como 9/160 e esperará que você descubra qual sua expressão decimal. MAS, o GMAT pode fornecer uma fração como 9/160 e perguntar se é exato ou não. Mas como saber?
 
Bem, primeiro de tudo, qualquer terminação decimal (como 0.0376) é, essencialmente, uma fração com uma potência de dez no denominador. Por exemplo, 0.0376 = 376/10000 = 47/1250. Note que simplificamos esta fração, dividindo o numerador por 8. O dez é múltiplo de 2 e 5, então qualquer potência de dez irá ser potência de 2 e de 5, e algumas podem ser canceladas por fatores no numerador, mas nenhum outro fator será introduzido no denominador. Então, se a fatoração primária do denominador de uma fração possui apenas múltiplos de 2 e múltiplos de 5, então pode ser escrita como algo com potência de 10, o que significa que sua expressão decimal será exata.
 
Se a fatoração primária do denominador de uma fração possui apenas múltiplos de 2 e de 5, as expressões decimais são exatas. Se há algum fator primário no denominador que não seja 2 ou 5, então a expressão decimal é periódica. Deste modo,
 
1/24 é periódica (há um múltiplo de 3)
 
1/25 é exata (apenas múltiplos de 5)
 
1/28 é periódica (há um múltiplo de 7)
 
1/32 é exata (apenas múltiplos de 2)
 
1/40 é exata (apenas múltiplos de 2 e 5)
 
Note que, contanto que a fração esteja nos seus menores termos, o numerador não importa. Já que 1/40 é exata, então 7/40, 13/40 ou qualquer outro inteiro sobre 40 também é.
 
Já que 1/28 é periódica, então 5/28 e 15/28 e 25/28 também são. Note, entretanto, que 7/28 não é periódica por causa do cancelamento: 7/28 = 1/4 = 0.25.

Abreviações Decimais:

Há alguns decimais que são úteis como atalhos, tanto para conversões de fração-para-decimal quanto para conversões de fração-para-porcentagem. Esses são
 
1/2 = 0.5
 
1/3 = 0.33333333333333333333333333…
 
2/3 = 0.66666666666666666666666666…
 
1/4 = 0.25
 
3/4 = 0.75
 
1/5 = 0.2 (e vezes 2, 3 e 4 para decimais fáceis)
 
1/6 = 0.166666666666666666666666666….
 
5/6 = 0.833333333333333333333333333…
 
1/8 = 0.125
 
1/9 = 0.111111111111111111111111111… (e vezes outros dígitos para outros decimais fáceis)
 
1/11 = 0.09090909090909090909090909… (e vezes outros dígitos para outros decimais fáceis)

Irracionais

Há outra categoria de decimais periódicos (que continuam para sempre) e eles não têm padrões de repetição. Esses números, os decimais periódicos não repetitivos, são chamados de números irracionais. É impossível escrever qualquer forma deles como razão de dois inteiros. O Sr. Pitágoras (c. 570 – c. 495 aC) foi o primeiro a provar um número irracional: ele provou que a raiz quadrada de 2 — sqrt(2) — é irracional. Nós todos sabemos: toda raíz quadrada de um inteiro cuja solução não é outro número inteiro é irracional Outro número racional famoso é o , ou pi, a razão da circunferência de um círculo pelo seu diâmetro. Por exemplo,
 
pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164

0628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745

0284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201

909145648566923460348610454326648213393072602491412737…
 
Esses são os primeiros trezentos dígitos do pi, e eles nunca se repetem: continuam para sempre sem padrões repetitivos. Há uma infinidade de outros números irracionais: na verdade, a infinidade de números irracionais é infinitamente maior que a infinidade de números racionais, mas isto leva a uma matemática (http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number) que é muito mais avançada que a do GMAT.

Questão Prática

1) {(0.16666...)/(0.44444...)} =
 
(A) 2/27
 
(B) 3/2
 
(C) 3/4
 
(D) 3/8
 
(E) 9/16

Explicação da Questão Prática

1) A partir dos nossos atalhos, nós sabemos que 0.166666666666… = 1/6, e 0.444444444444… = 4/9. Portanto (1/6)*(9/4) = 3/8. Resposta = D
 
 
Esta postagem apareceu originalmente em inglês no Magoosh blog e foi traduzida por Jonas Lomonaco.

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