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Matemática GMAT: Como Encontrar a Altura de um Triângulo?

Suponha que você tem um triângulo com lados {6,7,8} – como encontrar a altura?
 
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Esta é uma pergunta que alguns candidatos do GMAT fazem. Eles sabem que precisam da altura para achar a área, então se perguntam: como encontrar a altura? Uma resposta rápida é: fuhgeddaboudit! (Esqueça-se disso! – em português)

Qual altura?

Primeiro de tudo, a “altura” de um triângulo é sua altitude. Qualquer triângulo possui três altitudes, portanto, três alturas. Veja, qualquer lado pode ser uma base. De qualquer vértice, você pode desenhar uma linha perpendicular ao oposto da base – esta é a altitude. Qualquer triângulo possui três altitudes e três bases. Você pode usar qualquer par de altitude-base para encontrar a área do triângulo, pela fórmula A = (1/2)bh.
 
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Em cada um desses diagramas, o triângulo ABC é o mesmo. A linha verde é a altitude, a “altura”, e o lado com o quadrado perpendicular vermelho é a “base”. Todos os três lados do triângulo têm uma.

Encontrando uma altura

Dadas as alturas dos três lados do triângulo, a única forma de se encontrar a altura e a área dos lados individuais iria envolver trigonometria, o que está bem além do escopo do GMAT. Você está 100% ISENTO da responsabilidade de saber como fazer esse tipo de cálculo. Essa matemática é muito mais avançada do que é realmente necessário conhecer. Não se preocupe com essas coisas.
 
Na prática, se o problema do GMAT quer que você calcule a área de um triângulo, eles teriam que fornecer a altura. A única exceção seria em um triângulo retângulo – aqui, se uma das pernas é a base, a outra é a altitude, a altura, então é particularmente fácil encontrar a área de triângulos retângulos.

Alguns Exemplos de “mais do que você precisa saber”

Se você não quiser saber nada sobre esse tópico pois definitivamente não precisa para o GMAT, pule esta seção!
 
a. Tecnicamente, se você sabe os três lados de um triângulo, é possível encontrar a área com algo chamado fórmula de Heron, mas isto também é algo além do que o GMAT espera de você. Mais do que precisa saber!
 
b. Se um dos ângulos de um triângulo é obtuso, então as altitudes para qualquer base adjacente ao seu ângulo obtuso está fora do triângulo. Super tecnicamente, uma altitude não é um segmento através de um vértice perpendicular à base oposta e sim, um segmento através de um vértice perpendicular à linha que contém a base oposta.
 
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No diagrama acima, o triângulo DEF, uma das três altitudes é DG, que vai do vértice D à uma linha reta infinita que contém o lado EF. Isto é uma técnica que o GMAT não irá colocar no teste ou exigir de você. Novamente, mais do que precisa saber!
 
c. Se os três lados de um triângulo são todos inteiros perfeitamente positivos, então em toda a sua probabilidade, o valor matemático real das altitudes serão decimais bem feios. Muitas fontes de preparações do GMAT e professores no geral irão passar por cima disso, e, para facilitar a resolução dos problemas, irão fornecer um número perfeitamente positivo para a altitude também. Por exemplo, o real valor da altitude de C para AB no triângulo 6-7-8 do começo é:
 
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Você tanto NÃO precisa saber encontrar esse número como também a maioria dos criadores das questões do GMAT vão poupar detalhes feios e apenas dizer, por exemplo, que a altitude = 5. Isto torna bem fácil o cálculo da área. Sim, tecnicamente, é uma mentira, mas uma que poupa os estudantes de vários decimais matemáticos feios que não requerem preocupação. Na verdade, professores de matemática de todos os níveis fazem isto o tempo todo – pequenas mentirinhas matemáticas, para poupar os estudantes de detalhes que não precisam saber.
 
Até onde eu sei, as próprias pessoas que escrevem o GMAT são caçadoras da verdade de todos os tipos, e nem ao menos fazem esses tipos de mentirinhas de “simplificação para estudantes”. É mais provável que contornem todo o problema, por exemplo, ao fazer todas as variáveis com comprimentos relevantes ou algo do tipo. Novamente, mais do que precisa saber!

O que você precisa saber

É preciso saber geometria básica. Sim, há muita matemática além disso, e muito mais que poderia entender sobre triângulos e suas propriedades, mas você não é responsável por nada disto. É necessário conhecer a geometria básica de triângulos, incluindo a fórmula A = (1/2)b*h. Se o triângulo não é retângulo, você não tem responsabilidade nenhuma de saber como encontrar a altura – ela sempre será dada se precisar. Aqui está uma questão prática gratuita para você.
 
1) http://gmat.magoosh.com/questions/81
 
 
Esta postagem apareceu originalmente em inglês no Magoosh blog e foi traduzida por Jonas Lomonaco.

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