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Matemática GMAT: Como Dividir por Uma Raíz Quadrada

Muitos estudantes, especialmente aqueles que não mexem com matemática há um bom tempo, ficam perdidos quando tentam fazer divisões com raízes quadradas. Primeiro, considere essas três questões práticas.
 
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1. Na equação acima, x =
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2. O triângulo ABC é um triângulo equilátero com altura 6. Qual é a sua área?
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3. Na equação acima, x =
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Para segunda questão, é necessário um pouco de geometria. Revise as propriedades do Triângulo 30-60-90 (Triângulo Retângulo) e do Triângulo Equilátero se elas não são familiares para você. A primeira questão é apenas aritmética simples. A terceira é um pouco difícil. Para qualquer uma dessas, pode ser que, mesmo que tenha feito todas suas multiplicações e divisões corretamente, você acabe com uma resposta do tipo – alguma coisa dividido pela raiz quadrada de outra – e e perguntando: por que esta resposta nem aparece nas opções de escolha? Se isto lhe deixa atordoado, você achou o post certo.

Frações e Radicais

Quando nós começamos a mexer com frações, na nossa doce pré-adolescência, tanto os numeradores quanto os denominadores eram lindos inteiros positivos. Agora nós sabemos qualquer tipo de número real, qualquer número na linha dos inteiros, pode aparecer no numerador ou denominador de uma fração. Dentre outras coisas, radicais – ou seja, expressões de raiz quadrada – podem aparecer tanto no numerador quanto no denominador. Não há nenhum problema quando elas aparecem no numerador. Por exemplo,
 
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é uma fração perfeitamente boa. De fato, quem já estudou trigonometria deve até reconhecer essa fração especial. Suponha, então, que temos uma raiz quadrada no denominador: e agora? Vamos pegar o recíproco dessa fração.
 
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Esta não é mais uma fração perfeitamente boa. Matematicamente, esta fração é de “mau gosto”, porque estamos dividindo por uma raiz quadrada. Esta fração está implorando por algum tipo de simplificação. Como simplificamos isto?

Lidando com raiz quadrada no denominador

Pela convenção matemática padrão, seguida pelo GMAT, nós não deixamos raízes quadradas no denominador de uma fração. Se uma raiz quadrada aparece de tal forma, nós seguimos um procedimento chamado racionalização do denominador.
 
Nós sabemos que qualquer raiz quadrada multiplicada por ela mesma equivale a um número inteiro. Então, se nós multiplicarmos o denominador da raiz quadrada de 3 por ela mesma, daria 3, que não é mais um radical. O problema é – nós não podemos sair por aí multiplicando o denominador de frações por algo, deixando o numerador sozinho, e esperar que a fração se mantenha com o mesmo valor. MAS, lembre-se daquele antigo truque de frações – nós podemos sempre multiplicar uma fração por A/A, por um número sobre ele mesmo, porque a fração seria igual a 1, e multiplicá-la por 1 não muda o valor de nada.
 
Então, para simplificar a fração com a raiz quadrada de 3 no denominador, nós multiplicamos pela raiz quadrada de 3 sobre a raiz quadrada de 3!
 
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A última expressão é numericamente igual à primeira, mas ao contrário desta, é agora matematicamente aceita, porque não há nenhuma raiz quadrada no denominador. Ele foi racionalizado (isto é, a fração é agora um número racional).
 
Às vezes, alguns cancelamentos acontecem entre o número do numerador original e o número inteiro que resulta da racionalização do denominador. Considere o seguinte exemplo:
 
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Este padrão de cancelamento no processo de simplificação pode fornecer algum discernimento para o problema prático nº 1 acima.

Raiz quadrada e adição no denominador

Este é o próximo nível de complexidade. Suponha que estamos dividindo um número por uma expressão que envolva adição ou subtração de uma raiz quadrada. Por exemplo, considere esta fração:
 
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Esta é uma fração que precisa ser racionalizada. MAS, se apenas multiplicamos o denominador por si mesmo, isto NÃO IRÁ eliminar a raiz quadrada – em vez disso, irá apenas criar expressão mais complicada envolvendo raiz quadrada. Nós usamos a fórmula da diferença de dois quadrados,a^2-b^2 = (a + b)(a – b). Fatores da forma (a + b) e (a – b) são chamados conjugados um ao outro. Quando temos (número + raiz quadrada) no denominador, nós criamos o conjugado do denominador mudando o sinal de adição para um sinal de subtração, e então multiplicamos numeradores e denominadores pelo conjugado do denominador. No exemplo acima, o denominador é três menos a raiz quadrada de dois. O conjugado do denominador seria três mais a raiz quadrada de dois. A fim de racionalizar o denominador, nós multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por este conjugado.
 
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Note que a multiplicação no denominador resultou em uma simplificação da “diferença de dois quadrados” que tirou a raiz quadrada do denominador. O termo final está completamente racionalizado e é uma versão totalmente simplificada da original.

Resumo

Após ler esse post, tente resolver as três primeiras questões práticas do começo do artigo antes de ler as explicações abaixo. Se tiver quaisquer dúvidas no processo, por favor, faça-as nos comentários na seção abaixo!

Explicações das questões práticas

1) Para resolver x, nós começamos fazendo a multiplicação cruzada. Note que
 
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porque, em geral, nós podemos multiplicar e dividir através de radicais.
 
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Fazendo a multiplicação cruzada, nós temos
 
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Você poderá ter encontrado isso e se perguntar porque não está listado na resposta. Isto é numericamente igual à resposta correta, mas é claro, como este post explica, esta forma não é racionalizada. Nós precisamos racionalizar o denominador.
 
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Resposta = (D)
 
2) Nós sabemos a altura do triângulo ABC e precisamos encontrar sua base. Bem, a altura BD divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos. Pelas proporções em um triângulo retângulo, nós sabemos:
 
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Agora, meu trabalho é racionalizar o denominador logo.
 
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Agora, AB está simplificado. Sabemos que AB = AC, porque o triângulo ABC é equilátero, então nós temos nossa base.
 
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Resposta = (C)
 
3) Nós começamos dividindo a expressão entre parênteses para isolar x.
 
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É claro, esta forma não aparece entre as opções de respostas. Novamente, nós precisamos racionalizar o denominador, e nesse caso é um pouco mais complicado, porque nós temos uma adição no denominador junto com uma raiz quadrada. Aqui, nós precisamos encontrar o conjugado do denominador – mudando o sinal de mais para um sinal de menos – e então multiplicar o numerador e o denominador por este conjugado. Isto irá resultar em –
 
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Resposta = (A)
 
 
Esta postagem apareceu originalmente em inglês no Magoosh blog e foi traduzida por Jonas Lomonaco.

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